空间向量的直线与平面的夹角(向量求直线与平面夹角)
用矢量计算空间两条直线夹角的方法
近年来,高考数学用向量计算二面角,直线夹角的试题似乎每年都有。这是一种趋势,说明矢量计算简洁直观。
本文介绍了向量的点积,也称数量积的计算方法,得到了向量夹角的公式。
我们知道向量有大小和方向:
两个向量的乘积可以是一个量。例如,作用在一个方向上的力所做的功会使物体向另一个方向运动。这个积是向量的点积。有:
为什么乘以余弦而不是正弦?这是因为力所做的功只在运动方向上起作用,在垂直运动方向上所做的功不做或为零,力在位移方向上的投影与余弦有关。
不管两个矢量放在哪里,只要大小相等,方向相同,就是一个矢量。因此,在矩形平面坐标系中,矢量的表达是唯一的。我们沿X轴的单位向量是I,沿Y轴的单位向量是J,那么向量A可以表示为:
因为单位向量I和J彼此成90度,i.j=1x1.cos=0,所以:
由此可以推导出,如果平面上两个矢量的坐标已知,那么它们夹角的余弦为:
这个公式可以推广到三维空间中两个向量夹角的余弦值。
向量A和B的Ax,ay,az,bx,by,bz可以根据空间中线段的两个有序端点的坐标来计算,通过带入上述公式可以得到空间中两条直线之间的夹角。例如,下图中矢量A和B之间夹角的计算:
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由此可以推导出,如果平面上两个矢量的坐标已知,那么它们夹角的余弦为:
这个公式可以推广到三维空间中两个向量夹角的余弦值。
向量A和B的Ax,ay,az,bx,by,bz可以根据空间中线段的两个有序端点的坐标来计算,通过带入上述公式可以得到空间中两条直线之间的夹角。例如,下图中矢量A和B之间夹角的计算: