首页天道酬勤不定积分第一类换元法技巧(求定积分的四个步骤)

不定积分第一类换元法技巧(求定积分的四个步骤)

admin 12-02 09:09 584次浏览

跟随慧哥的脚步,走进数学的大门。

今天我们要讲的是不定积分的解法。希望大家仔细研究一下。

00-1010 1.第一类代换方法:形状为g(x)dx=f[z(x)]z '(x)dx=f(u)du]其中u=z(x)

例子

2.第二类替代方法(需要订单T)

(1)根数中只有一项和常数项的二次根。

方法:整体替换根治术。

示例:

(2)根中只有二次项和常数项(A为常数项)的二次根法:

4.如果被积函数含有 x a,也可以试着做x=sh t或x=ch t其中(sh xdx=ch x cch xdx=sh x c)

(3)根为一般二次多项式的二次根。

方法:将根式中的公式改为根式符号中只有二次项和常数项的公式。

示例:

(4)、以下两种情况:

例6

(5)如果被积函数是商的形式,且分子度小于分母,则尝试求逆代换,使x=1/t。

示例:

00-1010部分积分公式: UDV=UV- VDU

所用零件的常见集成类型:

(1)幂x指数dx选择指数dx=dv

(2)幂对数dx选择幂dx=dv

(3)幂x三角函数dx

选 三角函数dx=dv

(如果sinx cosx遇到二次,半角公式化为一次。如果遇到三次,则先凑微分再用分部积分。secx tanx cotx cscx必须偶次)

(4)∫ 幂x反三角函数dx 选 幂dx=dv

(5)∫ 指数x三角函数dx (根据情况而定)

(6)∫secⁿxdx和∫cscⁿxdx(n为偶次时不需要用分部积分法)

综上选择谁U谁V,看谁求导简单,谁求导简单就取为U,反之为V。例如多项式x和三角函数cosx相乘,很明显对于多项式x更容易求导,因此我们选择多项式x做为U。

三、有理函数的不定积分

本方法来自华东师范大学数学系编《数学分析·上册》(第三版),190页.

看几个例题(知识有限,具体方法下次总结)

四、三角函数中的积分技巧

1.在计算∫sin²ⁿ⁺¹xdx或∫cos²ⁿ⁺¹xdx时,一般将积分∫sin²ⁿ⁺¹xdx化成-∫(1-cos²)ⁿd(cosx),将积分∫cos²ⁿ⁺¹xdx化成∫(1-sin²)ⁿd(sinx)来进行计算。

2.在计算积分∫sin²ⁿxdx或∫cos²ⁿxdx时,一般利用倍角公式进行降幂计算。

3.在计算积分∫sin(ax)cos(Bx)dx,∫sin(ax)sin(Bx)dx,∫cos(ax)cos(Bx)dx时,一般利用积化和差公式对被积函数进行变形后再计算。

4.形如∫R(sinx,cosx)dx时,一般用万能代换法,令t=tanx/2。

例题

5.若有R(cosx,sinx)dx=R(-cosx,-sinx)dx,可令t=tanx;

若有R(-sinx,cosx)dx=-R(-sinx,cosx)dx,可令cosx=t;

若有R(sinx,-cosx)dx=-R(sinx,cosx)dx,可令sinx=t。

例题

另外还可以利用积分表来快速的求出一些原函数。

哲学上说矛盾是具有普遍性的,因此我们要具体问题具体分析。求解不定积分的方法并不是拘泥于以上几种,我们做题时应该从题目本身的条件出发,采取灵活多变的解题方法。

参考文献(Rreference):

·[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.6

·[2]mhddx等.数学分析习题集[M].北京:高等教育出版社,2010.7

·[3]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2014.7

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