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点乘叉乘混合,解析几何点乘和叉乘

张世龙 05-12 19:24 34次浏览

这一节末节多,一篇长,读起来很费时间,所以分为两个部分。

九.说明距离公式的原理。

介绍计算几何最重要的公式之一。 是距离式。 此公式用于计算两点之间的距离。

首先,将距离定义为两点之间的直线长度。 由于向量是有向线段,所以从几何意义上来说,两点之间的距离等于从一点到另一点的向量的长度。 现在,导出3D中的距离公式吧。 首先计算从a到b的矢量d,3D的情况下为:

从a到b的距离等于向量d的长度。 我以前学习了向量长度的计算方法。

1.3D距离公式

这将导出3D距离表达式,使2D表达式更简单。

2.2D距离公式

请看2D的例子:

请注意,哪个点是a,哪个点是b并不重要。 如果将d定义为从b到a而不是从a到b的向量,则会得到略有不同但数学上等效的表达式。

十.介绍第一个矢量乘法。 是积分乘法。

1 .算法

术语“点乘”来自表示法a.b的点号。 与标量和向量的乘法一样,向量点的乘法优先于加法和减法。 标量乘法和标量与向量的乘法通常可以省略名称,而向量的点乘法则不能省略点乘法编号。

矢量乘法是对应分量的乘积之和,其结果是标量。

2 .矢量点乘法

用连字符写的话如下。

3 .向量点乘的连笔法

应用于2D、3D时,如下所示。

4.2D和3D的积分乘法

很明显,从公式中可以看出点乘满足交换律。

5 .几何解释

一般来说,点乘法的结果表示两个向量的“相似”程度,点乘法的结果越大,两个向量越接近。 几何解释更直观,如下图所示。

点的乘法是向量的大小和等于向量所成角的cos值的积:

6 .向量点乘的几何解释

(在3D中,两个向量所成的角由包含两个向量的平面定义。 )

理解:

7 .将两个向量所成的角乘以点

如果a、b是单位向量,则可以避免用公式进行除法运算。 在这种情况下,上式中雄母为1,其馀如下。

8 .计算两个向量的角度

矢量的大小不影响点乘法结果的符号,因此上表与a、b的大小无关。 请注意,如果a、b中的任一个为零,则最终结果也等于零。 因此,对于零向量,点乘会被解释为零向量与任何其它向量垂直。

9 .矢量投影

十一、介绍第二个向量乘法。 是叉乘。

另一个向量乘法称为叉积或叉积,仅适用于3D向量。 与点乘不同,点乘得到标量并满足交换律,向量乘得到向量并不满足交换律。

1 .算法

和点乘一样,术语“叉乘”来自标记法a X b的叉号。 在这里写叉号。 不能像标量乘法那样省略。

叉子的公式如下。

叉子的运算优先顺序与积分乘法相同,乘法在加减运算之前计算。 点乘和叉乘在一起时,叉乘优先计算。

点乘返回标量,同时标量和矢量之间不能交叉,所以,

无定义,运算

叫做三重积。

如上所述,矢量叉不满足交换律。 实际上,它满足了反交换法

叉乘也不符合结合律。

2 .几何解释

用叉子得到的向量如图所示垂直于原来的两个向量

图中,向量a和b在一个平面上。 向量a X b指向该平面的正上方,与a和b垂直。

a X b的长度等于向量的大小与向量所成的角sin的乘积,如下所示:

3 .叉长与向量夹角的sin值有关

可见||a X b||也等于以a和b为两侧的平行四边形的面积。 验证这个结论,看看图吧

经典几何知识表明,平行四边形的面积是bh,即底与高的乘积。 你可以验证这个。 可以通过“切”一端的三角形并将其移动到另一端来构造矩形,如下图所示

长方形的面积由长度和宽度决定,在上图中是bh。 变换后的矩形的面积与原来的平行四边形的面积相等,所以该平行四边形的面积也为bh。

如果a、b平行或其中之一为0,则a X b=0,并且叉被解释为与任何其他向量平行于零向量。 请注意,这与点乘的解释不同,点乘的解释与任何其他向量垂直。 (当然,零向量没有方向,所以将零向量定义为平行或垂直于任何向量是错误的。 )

证明了a X b与A、B垂直。 但是,垂直于a、b有两个方向。 a X b指向哪个方向? a X b的方向可以通过将a的头和b的尾相接,调查a到b是顺时针还是逆时针来确定。 在左手坐标系中,a和b顺时针时,a X b指的是你。 如果A和B逆时针方向,a X b会远离你。 在右手坐标系中,正好相反,a和b顺时针时,a X b远离你,a和b逆时针时,a X b指向你。

下图分别表示顺时针和逆时针。

请注意探针是顺时针还是逆时针。 必须确保a的头和b的尾相接。

叉子最重要的应用是创建垂直于平面、三角形或多边形的向量。

十二、列举几个向量的代数运算式。

三个向量叉乘点乘顺序,点乘和叉乘运算公式 矢量点乘和叉乘运算法则,叉乘法求法向量高考扣分