logit回归模型,Logistic回归分析
logistic回归模型是线性生成模型。 本文介绍了logistic回归模型的相关知识，同时分析了多元协方差对概率分布的影响，以便更好地理解模型的决策边界函数。
上下文：logistic回归模型的含义
logistic模型的决策边界函数分析
logistic模型的参数优化
logistic回归模型与感知机模型的比较
总结
logistic回归模型的意义
我们将分类模型分为两个阶段：估计阶段和决策阶段，估计阶段对耦合概率分布建模，归一化得到后验概率。 在决策阶段，确定每个新输入x的类别。
我们用估计阶段的方法导出了logistic回归模型，首先是类条件的概率密度
类先验概率分布
建模，根据贝叶斯定理计算后验概率密度。
2考虑分类情况，类别C1的后验概率密度；
令
:
公式中的
是logistic函数
因此，logistic回归值等于输入变量为x的条件下类别为C1的概率
(1)该
分类结果为C1
)2)该
分类结果为C2
结论logistic回归值表示所属类的后验概率，无论是二分类还是多分类，分类结果都是后验概率最大的对应类。
logistic的决策边界函数分析
简单来说，决策边界函数是函数两侧不同的分类结果。
可以定性分析协方差三种情况与分布图的关系。
(a )图表示普通协方差矩阵的冒着生命危险的啤酒分布图。
(b )图表示协方差矩阵为对角矩阵的冒着生命危险的啤酒分布图。
(c )图表示协方差矩阵为对角矩阵、对角要素全部相等的冒着生命危险的啤酒分布图。
logistic的决策边界函数分析
logistic曲线如下图所示，红色直线(a=0)表示决策边界函数：
假设类条件概率密度是冒着生命危险的啤酒分布，即p(x|CK )，求解后验概率的公式，即p ) P(Ck|x )。 我们知道logistic回归值是求出的后验概率。
假设类条件概率密度的协方差相同，则类条件概率密度为：
根据以上导出式，后验概率为：
其中：
后验概率
的表达式表明，如果类条件的协方差矩阵相等，则决策边界函数是一条线性随x变化的直线。
结论：如下图所示，两种条件概率密度协方差相同时(例如C1和C2协方差相同时，决策边界函数为直线； 在两种条件概率密度的协方差不同的情况下，决策边界函数是曲线，例如C1和C3、C2和C3。 协方差矩阵是否相同，可以通过分布图形的形状是否相同来判断。 例如，C1和C2协方差相同，C3和C1、C2的协方差不同.
假设类条件概率密度具有与玩命啤酒分布相同的协方差矩阵，则决策边界函数是一条直线； 如果类条件的概率密度符合更一般的指数分布并且变焦参数s相同，则决策边界函数仍然是直的。
logistic模型的参数优化
logistic模型损失函数
由于logistic回归模型意味着后验概率分布，所以可以从概率的角度设计损失函数。
考虑到两种分类情况，假设有n个训练样本，logistic模型
当表示后验概率y=1概率时
表示y=0的概率、变量
值为1或0，分别表示模型
因此，似然函数
损失函数
logistic模型的参数优化
损失函数的最小化与模型参数的优化等价，如下图：所示
align="center">利用梯度下降法求最优解，学习速率
:
具体求法本文不介绍，只给出算法的思想。
为了避免过拟合问题，则在原来的损失函数增加正则项，然后利用梯度下降法求最优解，这里也不展开。
logistic模型与感知机模型的比较
logistic模型与感知机模型的相同点
由上面的分析可知，假设类条件概率分布的协方差相同，则logistic模型的决策边界函数是随x线性变化的直线，因此，感知机模型与logistic模型的分类策略一样，即决策边界函数是一样的。如下图:
感知机模型：当点落在直线上方，y>0,则分类结果为C1；反之为C2。
logistic模型：当点落在上方，y>0，则后验概率P(C1|X)>0.5,分类结果为C1；反之为C2。
考虑到对输入变量x进行非线性变换
,感知机和logistic模型的分类策略仍一样，决策边界函数相同，如下图:
感知机模型:当点落在圆外，y>0，则分类结果为C1；反之为C2。
logistic模型：当点落在圆外，y>0，则后验概率P(C1|X)>0.5,分类结果为C1；反之为C2。
logistic模型与感知机模型的异同点
(1) logistic回归模型限制值的范围在0~1,感知机模型对值范围没有限制，因此logistic模型相比感知机模型，对异常点有更强的鲁棒性。如下图，当有异常数据时，logistic模型要好于感知机模型。
(2) 感知机模型用误分类点到超平面的距离衡量损失函数，而logistic模型则从概率角度去衡量损失函数。
总结
logistic回归的含义是后验概率分布，用概率的角度去设计似然函数，logistic模型相比于感知机模型对异常数据具有更好的鲁棒性。