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常数的拉普拉斯变换(正弦函数的拉普拉斯变换)

admin 12-08 15:12 895次浏览

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换,是法国数学家为简化计算而建立的实变函数和复变函数之间的函数变换。

拉普拉斯是16-17世纪的法国数学家、物理学家和天文学家。当他研究安静的蜂蜜引力场和太阳系时,他提出了以他的名字命名的拉普拉斯变换公式,因为他想简单地求解所涉及的积分微分方程。

拉普拉斯的主要功能是简化微积分,尤其是解线性微分方程。它可以将微分方程转化为易于求解的代数方程,从而简化计算。例如,计算以下公式:

是不是很复杂,几乎不可能开始,但如果转化成对数解,就变成了下面的公式:

lgN=LG 6.28 1/3(LG 5781-LG 9.8 2 LG 20)3/5lg 1.164

这样通过查普通对数再查对表找出n,比直接计算找出lgN要简单得多,拉普拉斯的本质和这个例子类似,是一个简化复杂度的过程。

拉普拉斯是一种积分变换。顾名思义,积分变换的本质就是通过积分运算从一个函数到另一个函数的变换过程。如果f(t)是一个关于t的函数,并且在拉普拉斯变换的条件下(为了简化解释,我们先不提这个条件以免头痛),那么f(t)的拉普拉斯变换可以表示为如下公式:

也可以表示为[f (t)],其中L实际上应该是L的花体,也就是拉普拉斯的第一个字母,但我打不出真正的花体。

拉普拉斯变换的条件必须是F(S)的等号右边的广义积分在S区域收敛。所谓收敛,其实就是指当这个函数的变量T趋于无穷大时,它的通项的值趋于一个硬口红的值。如下图所示,当t趋于无穷大时,一般项值趋于0。这也是拉普拉斯变换存在的前提,e (- t)也叫收敛因子(为任意实数)。

也就是说,无论函数f(t)收敛与否,增加收敛因子后必然收敛,所以它的拉普拉斯变换必然存在(这个积辣吗,没有它处理不了@@)。

比如假设一个线性函数f(t)=mt(t0,m为常数),求其拉普拉斯变换。解决过程如下:

一些常用的拉普拉斯变换公式:

正弦和余弦的拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换的作用是将拉普拉斯变换应用于实变函数,在复域中进行各种运算,然后将拉普拉斯逆变换应用于运算结果,得到实域中相应的结果,这往往比直接在实域中得到相同的结果在计算上要容易得多。它对于求解线性微分方程特别有效。它可以将复杂的微分方程转化为易于求解的代数方程,从而大大简化了计算过程。毕竟,我们不能伤害时域信号。

拉普拉斯逆变换就不多说了,它本质上是一样的,只是逆运算,而公式如下:

在经典控制理论中,控制系统的分析和综合是基于拉普拉斯变换的。例如,有些信号处理计算在时域很难或不可能,但在复频域可以实现,利用拉普拉斯变换将时域变换到复频域。

因此,信号拉普拉斯变换的物理意义在于它是该信号复指数信号响应的h(t)的频域,如Y (t)=H (s) * e st,其中H (s)= h(t) * e-st dt称为h(t)的拉普拉斯变换。

了解了拉普拉斯的含义和本质,在学习上一定会事半功倍。就像一棵春天养分丰沛、雨露丰盈的果树,到了秋天,它的枝头一定长满了丰盈的果实。

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正弦和余弦的拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换的作用是将拉普拉斯变换应用于实变函数,在复域中进行各种运算,然后将拉普拉斯逆变换应用于运算结果,得到实域中相应的结果,这往往比直接在实域中得到相同的结果在计算上要容易得多。它对于求解线性微分方程特别有效。它可以将复杂的微分方程转化为易于求解的代数方程,从而大大简化了计算过程。毕竟,我们不能伤害时域信号。

拉普拉斯逆变换就不多说了,它本质上是一样的,只是逆运算,而公式如下:

在经典控制理论中,控制系统的分析和综合是基于拉普拉斯变换的。例如,有些信号处理计算在时域很难或不可能,但在复频域可以实现,利用拉普拉斯变换将时域变换到复频域。

因此,信号拉普拉斯变换的物理意义在于它是该信号复指数信号响应的h(t)的频域,如Y (t)=H (s) * e st,其中H (s)= h(t) * e-st dt称为h(t)的拉普拉斯变换。

了解了拉普拉斯的含义和本质,在学习上一定会事半功倍。就像一棵春天养分丰沛、雨露丰盈的果树,到了秋天,它的枝头一定长满了丰盈的果实。

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