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数学王子高斯的贡献(高斯的数学成就)

张世龙2021年12月20日 19:49天道酬勤1250

数学其实是一门傲慢的学科,一些复杂的字母、数字、等号的组合目前并不实际起作用,但所有数学家都应该为其研究内容感到自豪。

有些理论数学的内容虽然有点清晰,但不影响数学已经成为研究其他学科的研究工具(特别是物理学)。 数学就像许多学科平平淡淡的皮卡丘一样,可以说是受人喜爱,被其他学科所仰慕和追求的。

但是,在数学中,有些领域不太受其他学科的欢迎,而是用来锻炼大脑的。 这就是最古老、最纯粹、最有活力、最初等最深奥的数学领域,是被称为数学女王的数论。 让我们来看看一些数论的简单问题。

奇怪的素数

数字中有一个奇怪的种类——素数。 质数也称为质数,是指自身和不能被1整除的数。

那么,这样的数量到底有多少呢? 换言之,不存在比它大的数都能被比它小的数整除的数吗? 这个问题由质数的倡导者mldch提出,并给出了质数无限多的答案和证明。

他的证明巧妙地利用反证法,假设最大素数为n,将所有素数相乘再加一个:

很明显这个数不能被小于n的素数整除。 因为用小于n的素数去除必然会得到余数1。 因此,该数可以被大于n的素数整除,或者是大于n的素数。 所以n肯定不是最大素数。

由于这个结论与假设不一致,所以我们发现最大素数不存在,也就是说素数是无限的。

寻找素数最简单的方法是“筛选”。 这种方法是古希腊哲学家首次提出的天鹅。

在给定范围内,分别找出2、3、5、7等素数的倍数,最后得到的是素数。 例如1-100区间的素数为26个。 除此之外还有什么公式可以帮助找到素数吗? 1640年,法国数学家费马提出了一个公式:

n=5、2、3、4时得到的值都是素数,但n=5时这个数不是素数。 更准确的表达式n-n 41在n小于41时得到的都是素数,但如果n取41则得到41。 之后,人们做了很多尝试,但至今没有找到保证能够得到素数的公式。

哥德巴赫猜想

说到质数,不得不说是有名的哥德巴赫猜想。 哥德巴赫猜想众所周知的原因不是其重要性,而是一群数学票友总是声称自己证明了这一点。

哥德巴赫是lsdkfd家的不是傻瓜的儿子。 他的家庭条件很好,本人也受过很好的教育。 良好的家庭条件给他了研究数学的足够精力和资源。 他自己喜欢做世界各地的数学家,认为哥德巴赫来自与欧拉的书信往来。

哥德巴赫认为,对于任何偶数,都可以写出两个素数之和。 简单的一句话很难打败许多数学家们。 单纯的数,例如14=113,36=2313确实是正确的,但是对于更复杂的数,没有反例吗? 或者这个猜想是否会被证明?

后来,俄罗斯数学家温诺格拉夫证明偶数可以表示为4个以下素数之和。 4比2还差2个。 最后的目标最难实现啊。

要验证哥德巴赫猜想,需要引入危急素数这个新概念。 是与小数素数相乘的数。

例如15=3*5,将两个素数相乘,就成为一个大部分的素数。 如果n是偶数,很难证明n是两个素数之和,但可以证明n几乎是两个素数之和。 在哥德巴赫猜想中,“1 1”问题,也就是一个素数的积加上一个素数的积,就是两个素数之和。

在哥德巴赫猜想问题上,我国数学家们做出了杰出的贡献。 1956年,喜欢的硬币证明了“3 4”,之后证明了“3 3”和“2 3”。 1962年,潘承洞证明了“1 5”,喜悦的硬币证明了“1 4”。 1966年,陈景润证明了“1.2”,距离哥德巴赫的预想只有一步之遥。

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费马大定理

前面光说了和质数有关的内容,但是数论研究的可是整数。因此首当其冲的必然是费马大定理。费马不是职业的数学家,他是一个律师,但是他对于数学的成就使得他成为了职业的业余数学家。

费马大定理的根源可以追溯到古埃及时期。那时候优秀的工匠都知道,如果三角形的三个边的比值是3:4:5,那么这个三角形一定有个直角,满足两边的平方和等于第三边的平方。

公元三世纪费马开始研究这个问题,他在想,除了3,4外是不是也有其他的两数平方等于第三个数的平方?他找到了好几组这样的数,但是如果对于不是平方而是更高阶的幂次方,有没有这样的数存在呢?

他在阅读丢番图的《算术》时,看到了:对于直角三角形的三个边有的关系。于是他在旁边写下了简短的笔记,提出了:“当整数n>2时,关于的方程没有正整数解。

“关于这个问题,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下。”

但是这个定理的证明却没有那么顺利,以至于人们怀疑费马当时并没有证明这个猜想,或者他本人理解错了。

为此,有的人不惜出十万马克来悬赏证明方法。欧拉证明了n=3的情形,费马本人仅证明了n=4的情形,犹豫的蜜粉和勒让德分别独立证明了n=5的情形。最后费马大定理由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

物不知数和商高定理

前面讲的都是国外的数学家提出的理论,其实我国在研究数论方面也有着悠久的历史。

在古代我国就已经开始研究早期的数论问题。著名的《九章算术》可以说是第一部自成体系的数学著作。除此之外还有我们要介绍的来自两本不同著作的两个定理;出自《孙子算经》的中国剩余定理和出自《周髀算经》的商高定理。

在《孙子算经》里面记录着这样一道题:“今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?”

原文的解答是:三三数之,剩二,置一百四十;五五数之,剩三,置六十三;七七数之,剩二,置三十。并之。得二百三十三,以二百一十减之,即得。

明朝的数学家疯狂的板凳将解法编成了打油诗:“三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五使得知。”这就是中国剩余定理解决线性同余方程组的应用。

另一个定理出自《周髀算经》。

昔者xlmdzt问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”

商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。”

短短的小故事给出了商高定理,也就是勾股定理的证明:将长为4,宽为3的矩形折叠剪下,将其中一个直角三角形环绕拼接成以对角线长度为边的正方形,面积就是矩形对角线的平方,同时也可以用原矩形长宽表示:

所以

a²+b²=c²

数字是从人的实践中发展起来的。

我相信第一个提出数字的人肯定想不到,本来应当是具体统计数量的工具背后却衍生出了许多晦涩难懂的抽象问题。

数论的魅力或许就在于此,人人都可以发现问题,提出观点,而每一个观点都有着值得深入思考的问题,而这些问题使得这门科目充满了活力。

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