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倒立摆数学模型(旋转倒立摆原理)

张世龙2021年12月21日 18:41天道酬勤1420

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(1、南京工程学院工业中心,江苏南京211167; 2、南京大学数学系,江苏南京210093; 3、南京工程学院数理部,江苏南京211167; 4 .南京大学大气科学学院,江苏南京210093 )

倒立摆的结构很简单,但控制系统很复杂。 介绍了旋转倒立摆的结构原理,利用分析力学中的Lagrange方程建立了旋转倒立摆的线性数学模型,导出了其公式和比较准确的状态方程描述,分析了旋转倒立摆的不稳定性和控制性。 设计了控制系统的硬件电路和软件程序的编制,对系统的全控制过程进行了数据采集、图形展示,分析了摇杆从自然下垂到抬起180实现倒立摆的全过程。 系统采用离散PID调节算法进行控制,保证了系统的稳定性,消除了嵌入卡尔曼滤波算法中可能出现的噪声信号,保证了数据的正确性。

旋转倒立摆; 洛杉矶格兰奇; 数学模型; 卡尔曼滤波器; PID调节

倒立摆是研究控制理论的理想平台,其结构简单、成本低,是典型的多变量、快速、非线性、自然不稳定系统。 倒立摆在外力的作用下,从一个稳定的平衡状态自动过渡到另一个平衡状态的过程中,要求摆的迅速,在到达新的平衡点时迅速进行稳定的摆控制[1-4]。

图1是旋转倒立摆的结构图。 倒立摆的原理是,通过电机使旋转臂在水平平面内往复运动时,钟摆会因惯性以旋转轴2为中心在垂直平面内往复运动,当能量达到一定值时,摆动幅度超过180成为倒立状态。 单片机系统对摆动杆的快速倒立控制是本研究的主要内容。 首先建立数学模型,然后设计单片机软、硬系统,最后进行调试分析,形成旋转倒立摆单片机控制系统。

1系统数学模型的建立

假设在建立数学模型之前忽略空气阻力。 系统由电机和质量均匀的摆动杆m构成,将从摆动杆的重心到旋转轴2的距离设为l,将从旋转轴2的轴心到旋转轴1的轴心的距离设为r,在某个时刻,旋转臂在水平面上旋转的角度是多少?摆动杆在垂直平面内旋转的角度是多少? 琢、杆和旋转臂的角度以逆时针方向为正[5]。 其受力分析如图2所示。

回转臂和摆动杆一起动作,摆动杆的重心x、y方向的速度分量分别如下所示。

整个系统的动能t由回旋臂在水平面内的旋转动能、摆动杆在铅直平面内的旋转动能、摆动杆重心沿着x轴方向和y轴方向的动能4个部分构成。 这样就得到了Lagrange函数。

Lagrange方程:这里,q是系统的广义坐标,t是系统的总动能,v是系统的势能,l是拉格朗日算子。 Lagrange方程式表示如下。

倒立摆系统中I=1、2、q=? 兹, 琢)? 臂角位移, 由于冠角位移,Qi是系统沿该广义坐标方向的外力,可以得到以下方程:

得到系统的线性化状态方程。

表1根据相关参数,当旋转倒立摆系统接近平衡点时,得到以下线性化数学模型

2控制系统的硬件电路设计

2.1控制系统整体框图

控制系统主要由单片机系统、驱动模块、直流减速电机、角度传感器、LCD液晶显示模块等组成。 单片机实时采集角度传感器的数据,通过分析得到摇杆的当前状态,通过计算得到相应的控制量,控制电机的旋转,从而达到期望的控制目的。 系统整体的框图如图3所示。

2.2控制系统的电路图

图4是控制系统传感器及驱动原理图。 为了保证控制精度和速度,采用增强型51单片机STC12C5A60S2[6]作为控制核心; 电机驱动模块采用L298N大电流电机驱动芯片,由单片机P2口部分的口线控制; 角度传感器采用MPU6050六轴运动处理单元,可检测摇杆垂直方向的角度值,由P1口部分的口线控制,插脚与单片机外部的插脚0针连接。 另外还包括LCD12864的显示电路和按钮电路,实现人机交互和当前的状态显示。

3控制系统软件设计

3.1资源分配和工艺流程

系统的主要控制任务是角度数据的收集和处理、电机驱动控制、按键输入读取、数据显示等。 其中,数据表示任务为非紧急事件,通过循环调用主程序完成角度数据的收集和处理,电机驱动控制任务是一致性和高实时性、周期性的紧急事件,是计时器T0中断服务按键读取任务是随机紧急事件,必须由外部中断0子程序执行。

如图5所示,计时器T0中断服务子程序的流程图主要执行传感器数据的读取、卡尔曼滤波、PID调整任务,但为了避免中断程序的溢出,这三个任务的执行时间必须为

于5 ms,因此单片机外部晶振频率选为24 MHz方能满足速度需要。

3.2 控制调节算法

PID调节是按偏差的比例、积分、微分进行控制的一种闭环调节控制,原理框图如图6所示,其中r(t)为系统给定值,c(t)为实际输出,u(t)为输出控制量。引入PID调节算法可保证系统处于闭环控制状态,并且能让系统快速准确达到设置的平衡状态[7-11]。

系统采用计算量较小的增量式PID算法,由模拟PID离散化得到在k-1时刻的输出:

其中,T为采样时间。单片机控制系统将采用恒定的采样周期T,一旦确定A、B、C,只要使用前后3次测量的偏差值,就可以求出控制量。

3.3 系统抗干扰设计

由于角度传感器采集到的数据含有噪声信号,主要来自外界电磁干扰及角度传感器本身的噪声。在软件系统中采用卡尔曼滤波算法[12-15]将噪声滤去。设采样率为200 Hz,对摆杆摆起发整个过程进行角度数据采集,经卡尔曼滤波前后图像对比如图7所示,其展示了摆杆从自然下垂状态开始实现倒立的整过过程。摆杆静止时刻自然下垂为平衡状态Ⅰ,与垂直方向夹角为0°(图7(b)中2段所示)。摆杆在电机带动下获取一定能量来回振荡(图7(b)中3所示),能量达到一定程度摆杆越过180°实现倒立,经过短时间几次小的振荡后(图7(b)中4所示),到达新的平衡状态Ⅱ(图7(b)中5所示),实现了摆杆倒立。停止电机控制,摆杆将回到原平衡状态Ⅰ,并在0°附近自由振荡几次后达到静止(图7(b)中6所示)。由于卡尔曼滤波在初始时刻滤波误差较大,属于盲区(图7(b)中1所示),软件编程时应延时几秒以避开盲区。

3.4 主要程序源码

定时器T0中断子程序代码如下所示[16]:

void Timer0 interrupt 1 using 1

{

TH0=(65536-2500)/256;

TL0=(65536-2500)%256;//重装初值

ReadMpu6050;//读传感器数据

KalmanFilter;//卡尔曼滤波

if(DelayCounter==2000) //计数判断

{Motor0=PIDControl;//PID调节控制

DispBuffUpdata;} //更新显示缓冲区

else DelayCounter++;

}

4 测试结果与结论

表2为摆起模式运行结果测量表。通过按键设置摆起模式,分别选择摆起角度为45°~180°之间的数据,摆杆会在电机带动下做往复摆动,摆角很快达到超过-60°~+60°。当摆杆角度接近180°时,通过PID调节,迅速使摆杆保持稳定倒立状态,时间维持5 s以上。通过一系列实验验证,该旋转倒立摆系统能完成任意角度的摆起,并能实现快速倒立,系统能很好地满足设计要求。

参考文献

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