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微积分课程(网易公开课mit微积分)

张世龙2021年12月21日 20:29天道酬勤630

概述

一节中,我们将讨论分析多元方程式的方法之一——连锁法则。 本章非常清楚地说明链式法则。 偏微分基础建立后,发现链式法则是微积分分析的万金油,微分的除法换元法都可以用链式法则代替。 当然,这个故事需要从头开始。

一般所说的函数是指显函数,公式为y=f(x )。 在许多情况下,不能直接用x表示y,而是f(x,y )=0。 这就是隐函数。

求隐函数的微分时,可以使用几个诀窍:

对于多变量或复杂函数,有可以分析的标准方法。

首先,订单变量中的连锁法则是指对一个函数连锁的z=f(g ) x ) )。

链式法则需要回答的问题是链式斜率、链式整体的导数。

需要用该公式计算的复杂函数导数将转换为两个已知的简单函数。 看一个例子直观地理解: sin(3x )。 内函数为y=3x,外函数为z=sin(y )。

根据链式法则,可以得到以下结果

函数z的频率是正弦函数频率的3倍,因此变化幅度更大,在原点斜率也变为3倍。 这和导数图像的结果完全一样。 这就是链式法则的直观表现。

Total Differentials and the Chain Rule 全微分和链式法则

全微分(Total Differentials )首先给出结果。 关于f(x,y,z ),全微分如下:

d是微分符号。 你怎么想微分符号? 让我们先看看该怎么想:

前者表示微分符号,而后者表示非常少的数量。 请注意绝对不要混用这两者。 在许多教科书中,这两种也是混用的。 微分符号可以考虑如下。

反映了变量变化时对函数的影响。

是小变化的占位符。

同时除以dt,可以得到t接近0的变化率。

这就是链规则(chain rule )。 如果函数依赖于一个变量,而变量又依赖于另一个变量,则链式法则可以找到函数在新变量中的变化率和各变量之间的依赖关系。

有一个众所周知的公式可以与微分方程进行比较。 请注意,这里不是等号,而是等号:

首先,让我们证明一个不严谨的事实:

如果x、y、z分别是t的函数,则有

带入后:

等式的两边同时除以dt就是链式法则。

更好的证明:

分母和分子的微小变量非常小时,会发生0/0。 这就是微积分要处理的事情。 微积分保持着这个值,在极限条件下这个值就是导数。 变化率接近的值为微分,等号也为等号。 这是链式法则最核心的原理。

让我们来看一个例子:

也可以直接带入各部分的值,得到同样的结果。 这里所谓连锁法则,本质上是指

将多变量转化为单变量。如果x,y,z不能写成t的显性函数,则只能使用链式法则。

链式法则和微分的关系

一个很有意思的地方,很多人知道导数的乘法法则,确实乘法法则是链式法则的一个应用,反过来乘法法则也可以通过链式法则来证明。

再来看看除法法则:

多变量的链式法则

到现在为止,感觉一切都没有问题,都是那么完美。突然有声音在问,之前的链式法则,都是认为所有变量都是关于共同变量t的,都依赖于同一个t,这本质上就是单变量的求导,如果每个变量依赖多个不同的变量,比如说一个极坐标下的方程,链式法则怎么用,函数w关于u,v的偏导数到底是什么?

可以把x和y的公式带入,w就变成了u和v的方程。但是求这个函数的偏导数绝对会让人抓狂的。或者,将链式法则进行到底:

如果改变u的话,w如何改变?x,y如何改变,这些是微分关系给我们的。

整理下这个式子,看括号内的部分:

理解这个式子也不难,我们想知道,u如何影响f,f是关于x和y的函数,x和y又依赖于u,这就是链式法则的精华了。

有人发现分子分母上都有同样的偏微分符号,是不是可以再词约分化解,答案是不行。

偏微分不能约分,偏微分不能约分,偏微分不能约分。

但是上下同时有微分符号,是可以约分的,这就是微分和偏微分的不同。

极坐标例子

平面直角坐标系和极坐标系转换的公式是:

如果已知函数f(x,y),想知道直角坐标系下 f 关于极坐标下 r 或者 角度 的变化,可以用链式法则尝试下了,是不是简单很多。

下期讲解偏微分的另一个工具,梯度和方向导数。

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