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数学符号语言举例,数学符号工具

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 Datawhale干货 

作者:活泼的大船,康涅狄格大学,Datawhale成员

这三天复现一个论文实验结果不正确,一直找不到原因,后来发现是自己把当成了如果你到现在搞不懂这两个符号的区别,这问题就跟学英语记不住周一到周日的正确拼写一样严重,那么就非常有必要花3分钟跟着这篇文章复习一遍。

这篇文章的主要内容来自_Mathematical Notation: A Guide for Engineers and Scientists by Edward R. Scheinerman_ ,基本包括了机器学习中大部分常见数学符号。

‍‍‍‍‍‍‍ 1. 变量名约定 

s- 斜体小写字母用做标量 (例如一个数字)

x- 粗体小写字母用做向量 (例如一个2D点)

A- 粗体大写字母用做矩阵 (例如一个3D变换)

θ- 斜体小写希腊字母用做常量和特殊变量 (例如惩罚项的权重)

2. 等号

=表示相等 (值相同)

≠表示不相等 (值不同)

≈表示约等于 (π ≈ 3.14159)

:=表示定义 (A 被定义为 B)

3. 平方根与复数

一个平方根运算是这种形式:

也可以有多次平方运算

复数是 形式的表达式, 其中 是实数部分, 是虚数部分。虚数 的定义为 。

4. 点与叉

点·和叉×符号根据上下文的不同有不同的用法,下面我们分开讨论:

标量乘法:

两个符号都可以表示简单的标量之间的乘法。下边的写法意思相同

对于非常数的标量我们可以省略符号

2. 向量乘法:

表示向量和标量之间相乘,或两向量的逐元素相乘,我们不用点·或叉×符号,一般使用空心点来表示

有时作者可能会显式定义一个不同的符号,例如圆中点⊙或实心圈●

3. 点乘:

点符号·可用来表示两向量之间的点乘。由于其值是一个标量,通常被叫做标量积(scalar product)。

4. 叉乘:

叉乘符号×可以用来表示两向量的叉乘,由于其值是一个向量,又叫做向量积。

5. 西格玛(sigma)

大写希腊字母Σ(Sigma) 用来表示总和, 换句话说就是对一些数字求和。

这里, i=1 是说从 1 西格玛上边的数字 100 为止。这些分别为上下边界。"E" 右边的_i_告诉我们求和的是什么。注意这里的范围上下都是闭区间。
6. 大写Pi

大写 Pi 或“大Pi”与sigma非常接近, 不同的是我们用乘法取得一系列数字的乘积。

7. 管道(pipes)

管道符号,就是竖线,根据上下文不同,可以表示不同意思。下边的是3种常见用途,绝对值、模长和行列式。

这3种特性都是描述对象的长度(length)。

绝对值


对于数字x,|x|表示x的绝对值。

2. ffdbmh模长(Euclidean norm)

对于向量v,‖v‖是v的ffdbmh模长,在机器学习中被称作2范数(2-norm),计算方法是向量每个元素的平方根的和再开方。

通常用双竖线表示来避免与_绝对值_ 符号混淆,但有些时候也会看见单竖线。

一般的如果右下角加一个数字,表示k阶范数,什么都不加默认2范数


如果右上角加一个数字就代表范数的k次方。

3. 行列式

对于一个矩阵,对于一个矩阵A,|A|表示矩阵A的行列式,也可以表示它的1范数,这两个值不相同,需要根据上下文考虑。

8. 帽子

在几何里,字母上的 “帽子” 符号用来表示一个单位向量。例如,这是向量a的单位向量。


9. 属于

集合理论中,“属于”符号∈和∋可以被用来描述某物是否为集合中的一个元素。例如:


这里我们有一个数字集A{ 3, 9, 14 }而且我们说3是“属于”这个集合的,一般我们使用花括号表示集合。

10. 常见数字集合

ℝ全体实数集合描述_实数(real numbers)_的集合。他们包括整数,有理数,无理数。

ℚ有理数集合(rational numbers)是可以被表示为分数,或比率(类似⅗)的实数。有理数不能以0作分母。这意味着所有的整数都是有理数,因为可以看成分母为1。换句话说无理数就是不能表示为比率的数,例如 π (PI)。

ℤ整数(integers)是没有小数部分的实数。可为正也可以为负。

ℕ自然数(natural numbers)自然数是正整数或非负整数。取决于所学领域和上下文,集合中可能包含也可能不包含0,所以可以是下边任意一种集合。

ℂ复数是实数与虚数的组合,被视为2D平面上的一个坐标。

11. 撇号(prime)

撇号 (′) 通常用在变量名上,用来描述某物很类似,而不用另起个名来描述它。也可以描述经过一些变换后的“下一个值”。

对于一个函数,撇号通常描述为函数的导函数(derivative)。

使用多个撇号可以用来表示 二阶导函数(derivative)_ƒ′′_或 三阶导函数(derivative)ƒ′′′,之后更高的数字,一般作者会用罗马数字或上标数字表示。

12. 向下取整和向上取整(floor & ceiling)

⌊x⌋和⌈x⌉这种特殊的括号分别用来表示floor和ceil函数。

记住下取整是地板(floor) 那两个小横线在下面,得到的是小的值。

向上取整是天花板(ceiling)那两个小横线在上面,得到的是大的值。

13. 箭头

⇒和→优势被用作表示lsdxy(material implication)逻辑。意思是如果A是true,那么B也是true。箭头可以是左右任何方向⇐⇒,也可以双向⇔。当_A ⇒ B_并且_B ⇒ A_,就是他们是相等的A⇔B。

≪和≫通常用来表示明显(significant)不相等。k≫j也可以表示k的数量级大于j。

与(conjunction)∧和 或(disjunction)∨分别表示逻辑与或操作,类似于程序员的AND和OR操作。

14. 逻辑非(logical negation)

有时候,¬,~和!符号都用来表示逻辑NOT。例如,只有在A为false的时候,¬A为true。

15.  区间

有时函数会处理被一些值限定范围的实数,这样的约束可以用区间(interval)来表示。

例如我们可以表示0和1之间的数,让他们包含或不包含0和1:

不包含0或1 ----- (0, 1)

包含0但不包含1 ----- [0, 1)

不包含0但包含1 ----- (0, 1]

包含0和1 ----- [0, 1]

“整理不易,三连

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